Упр.306 ГДЗ Бунимович 5 класс (Математика)

Задача

Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так:
• найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин (рисунок справа);
• умножить это число на число вершин;
• разделить результат на 2 (объясните почему).
Сколько диагоналей у семиугольника? десятиугольника? стоугольника? У какого многоугольника 9 диагоналей?
Выполнив необходимые измерения, найдите периметр многоугольников, изображённых па рисунках 5.25, 5.26.

Подробный ответ

Число диагоналей многоугольника удобно находить так:

из одной вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой этой вершины и двух соседних, значит, их на 3 меньше, чем вершин;
полученное число умножаем на число вершин;
делим на 2, потому что каждая диагональ при таком подсчёте учитывается дважды — из каждой из двух её вершин.

Тогда:

для семиугольника

$$ (7-3)\cdot 7 : 2 = 4\cdot 7 : 2 = 28 : 2 = 14 $$

для десятиугольника

$$ (10-3)\cdot 10 : 2 = 7\cdot 10 : 2 = 70 : 2 = 35 $$

для стоугольника

$$ (100-3)\cdot 100 : 2 = 97\cdot 100 : 2 = 9700 : 2 = 4850 $$

Чтобы узнать, у какого многоугольника 9 диагоналей, составим уравнение:

$$ \frac{n(n-3)}{2}=9 $$

$$ n(n-3)=18 $$

$$ n^2-3n-18=0 $$

$$ (n-6)(n+3)=0 $$