Упр.306 ГДЗ Бунимович 5 класс (Математика)

Число диагоналей многоугольника удобно находить так:

• из одной вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой этой вершины и двух соседних, значит, их на 3 меньше, чем вершин;
• полученное число умножаем на число вершин;
• делим на 2, потому что каждая диагональ при таком подсчёте учитывается дважды — из каждой из двух её вершин.

Тогда:

для семиугольника

$$(7-3)\cdot 7 : 2 = 4\cdot 7 : 2 = 28 : 2 = 14$$

для десятиугольника

$$(10-3)\cdot 10 : 2 = 7\cdot 10 : 2 = 70 : 2 = 35$$

для стоугольника

$$(100-3)\cdot 100 : 2 = 97\cdot 100 : 2 = 9700 : 2 = 4850$$

Чтобы узнать, у какого многоугольника 9 диагоналей, составим уравнение:

$$\frac{n(n-3)}{2}=9$$

$$n(n-3)=18$$

$$n^2-3n-18=0$$

$$(n-6)(n+3)=0$$

Подходит только $$n=6$$, значит, это шестиугольник.

Периметры многоугольников:

$$P_{EFHD}=EF+FH+HD+DE=2\text{ см }1\text{ мм}+2\text{ см }1\text{ мм}+1\text{ см }8\text{ мм}+1\text{ см }8\text{ мм}$$

$$=4\text{ см }2\text{ мм}+2\text{ см }16\text{ мм}=4\text{ см }2\text{ мм}+3\text{ см }6\text{ мм}=7\text{ см }8\text{ мм}$$

$$P_{MNPTK}=MN+NP+PT+TK+KM=1\text{ см }4\text{ мм}+1\text{ см }6\text{ мм}+1\text{ см}+1\text{ см }6\text{ мм}+1\text{ см }4\text{ мм}$$

$$=2\text{ см }10\text{ мм}+1\text{ см }2\text{ мм}+10\text{ мм}=3\text{ см}+1\text{ см }3\text{ мм}=7\text{ см}$$

Ответ

14 диагоналей; 35 диагоналей; 4850 диагоналей; шестиугольник. Периметры: $$7\text{ см }8\text{ мм}$$ и $$7\text{ см}$$.