Упр.303 ГДЗ Бунимович 5 класс (Математика)

Указание. Если вы считаете, что да, то начертите такой четырёхугольник.
ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ
Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так:
• найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин (рисунок справа);
• умножить это число на число вершин;
• разделить результат на 2 (объясните почему).
Сколько диагоналей у семиугольника? десятиугольника? стоугольника? У какого многоугольника 9 диагоналей?

Сумма углов четырёхугольника равна $$360^\circ$$. Если два угла прямые, то их сумма равна $$90^\circ+90^\circ=180^\circ$$. Тогда на два других угла остаётся ещё $$360^\circ-180^\circ=180^\circ$$.

Значит, два других угла могут быть не прямыми, например по $$60^\circ$$ и $$120^\circ$$. Такой четырёхугольник можно начертить.

Число диагоналей многоугольника считаем так: из одной вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой этой вершины и двух соседних, то есть на 3 меньше, чем число вершин. Затем это число умножаем на число вершин и делим на 2, потому что каждая диагональ считается дважды.

Для семиугольника:

$$7-3=4$$
$$4\cdot 7:2=28:2=14$$

Для десятиугольника:

$$10-3=7$$
$$7\cdot 10:2=70:2=35$$

Для стоугольника:

$$100-3=97$$
$$97\cdot 100:2=9700:2=4850$$

Если у многоугольника 9 диагоналей, то пусть число его вершин равно $$n$$. Тогда

$$\frac{n(n-3)}{2}=9$$

$$n(n-3)=18$$

Подходит $$n=6$$, так как

$$\frac{6\cdot 3}{2}=9$$

Ответ

Да, могут. Например, $$60^\circ$$ и $$120^\circ$$.
У семиугольника — $$14$$ диагоналей, у десятиугольника — $$35$$, у стоугольника — $$4850$$.
$$9$$ диагоналей у шестиугольника.