Вопрос 9 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Дайте определения синуса, тангенса и котангенса острого угла.
- Доказать, что синус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.
Синусом острого угла $$\alpha$$ называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$$\sin \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}.$$
Тангенсом острого угла $$\alpha$$ называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету:
$$\tg \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.$$
Котангенсом острого угла $$\alpha$$ называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету:
$$\ctg \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}.$$
Покажем, что эти отношения зависят только от величины угла.
Пусть $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, $$\angle C=90^\circ$$, $$\angle A=\alpha$$. Тогда
$$\sin \alpha=\frac{BC}{AB}, \qquad \cos \alpha=\frac{AC}{AB}.$$
По теореме Пифагора:
$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}.$$
Тогда
$$\sin \alpha=\frac{BC}{AB} =\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{AB} =\sqrt{1-\left(\frac{AC}{AB}\right)^2} =\sqrt{1-\cos^2 \alpha}.$$
Значит, $$\sin \alpha$$ зависит только от величины угла $$\alpha$$.
Кроме того,
$$\tg \alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{BC/AB}{AC/AB}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},$$
$$\ctg \alpha=\frac{AC}{BC}=\frac{AC/AB}{BC/AB}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$
Следовательно, $$\tg \alpha$$ и $$\ctg \alpha$$ также зависят только от величины угла $$\alpha$$.
Ответ: $$\sin \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\ \tg \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}},\ \ctg \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$$; все три отношения зависят только от величины угла.
