Упр.13.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найти: сумму внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному
при каждой вершине;
Решение:
1) Внешний и внутренний углы многоугольника являются смежными,
следовательно их сумма равна 180°, тогда сумма всех внутренних и
внешних углов n-угольника равна:
S1=n•180°;
2) Сумма всех внутрениих углов n- угольника по теореме 13.2 равна:
S2=180°•(n-2);
3) Найдем сумму только внешних углов:
S=S1-S2=n•180°-180°•(n-2)=180n-180n+360°=360°;
Ответ: 360°.

Подробный ответ

Внешний и внутренний углы многоугольника при одной вершине являются смежными, поэтому их сумма равна $$180^\circ$$.

Тогда сумма всех внутренних и внешних углов выпуклого $$n$$-угольника равна

$$S_1=n\cdot 180^\circ.$$

Сумма внутренних углов выпуклого $$n$$-угольника равна

$$S_2=180^\circ\cdot (n-2).$$

Следовательно, сумма всех внешних углов равна

$$S=S_1-S_2=n\cdot 180^\circ-180^\circ\cdot (n-2).$$

Упростим выражение:

$$S=180n-180(n-2)=180n-180n+360^\circ=360^\circ.$$