Упр.11.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: вписанный в треугольник квадрат, у которого две вершины
лежат на одной стороне, а две другие-на двух других сторонах;
Построение:
1) Пусть дан треугольник ABC.
2) Отметим на стороне AC произвольную точку E1, проведем через нее
прямую, перпендикулярную AC и отметим точку F1 на пересечении
этой прямой и стороны AB;
3) На стороне AC отложим отрезок E1 H1, равный отрезку E1 F1;
4) Проведем через точки H1 и F1 прямые, перпендикулярные отрезкам
E1 H1 и E1 F1 соответственно, отметим точку G1 на их пересечении;
5) Проведем луч AG1 и отмметим точку G на пересечении со стороной BC;
6) Опустим из точки G перпендикуляр GH на сторону AC;
7) На стороне AC отложим отрезок HE, равный отрезку GH;
8) Проведем через точку G прямую, перендикулярную отрезку GH и
отметим точку F на пересечении этой прямой и стороны AB;
9) EFGH-искомый квадрат

Подробный ответ

Пусть дан треугольник $$ABC$$, и требуется вписать в него квадрат так, чтобы две его вершины лежали на стороне $$AC$$, а две другие — на сторонах $$AB$$ и $$BC$$.

Построим квадрат следующим образом.

На стороне $$AC$$ отметим произвольную точку $$E_1$$ и проведём через неё прямую, перпендикулярную $$AC$$. Эта прямая пересечёт сторону $$AB$$ в точке $$F_1$$.
На стороне $$AC$$ отложим отрезок $$E_1H_1$$, равный отрезку $$E_1F_1$$.
Через точки $$H_1$$ и $$F_1$$ проведём прямые, перпендикулярные соответственно отрезкам $$E_1H_1$$ и $$E_1F_1$$. Пусть они пересекутся в точке $$G_1$$.
Проведём луч $$AG_1$$ и отметим точку $$G$$ его пересечения со стороной $$BC$$.
Из точки $$G$$ опустим перпендикуляр $$GH$$ на сторону $$AC$$.
На стороне $$AC$$ отложим отрезок $$HE$$, равный отрезку $$GH$$.
Через точку $$G$$ проведём прямую, перпендикулярную $$GH$$, и отметим точку $$F$$ её пересечения со стороной $$AB$$.

Четырёхугольник $$EFGH$$ — квадрат: по построению $$EF \perp EH$$, $$GH \perp EH$$, а также $$EF = EH = GH$$, следовательно, все его стороны равны и все углы прямые.