Вопрос 9 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: у параллелограмма противолежащие стороны равны и
противолежащие углы равны;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм;
2) Проведем диагонали параллелограмма и отметим точку O на их
пересечении, согласно теореме 6.2: AO=OC и BO=OD;
3) угол AOB = углу COD и угол AOD = углу COB (как вертикальные углы);
4) Треугольники AOB и COD равны по первому признаку, отсюда
AB=CD;
5) Треугольники BOC и AOD равны по первому признаку, отсюда
BC=AD;
6) Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку, отсюда
угол ABC = углу ADC;
7) Треугольники ABD и CBD равны по третьему признаку, отсюда
угол BAC = углу BCD;
8) Таким образом, у параллелограмма ABCD противолежащие стороны
и противолежащие углы равны, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм. Проведём его диагонали и обозначим точку их пересечения через $$O$$. Тогда, согласно свойству диагоналей параллелограмма,

$$AO=OC,\quad BO=OD.$$

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. В них:

$$AO=OC,$$

$$BO=OD,$$

$$\angle AOB=\angle COD$$

как вертикальные углы. Значит, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда

$$AB=CD.$$

Аналогично, треугольники $$BOC$$ и $$AOD$$ равны по первому признаку, поэтому

$$BC=AD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$. У них:

$$AB=CD,$$

$$BC=AD,$$

$$AC$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$ по третьему признаку. Значит, соответствующие углы равны:

$$\angle ABC=\angle CDA,$$

$$\angle BAC=\angle DCA.$$

Таким образом, у параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Ответ

У параллелограмма $$ABCD$$ противолежащие стороны равны: $$AB=CD$$, $$BC=AD$$, и противолежащие углы равны: $$\angle ABC=\angle CDA$$, $$\angle BAD=\angle BCD$$.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

4.3 / 5

Другие учебники

Атанасян (Раб тетрадь)