Упр.14.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, а $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник, у которых $$AB=A_1B_1=a$$ и $$AD=A_1D_1=b$$.

Из вершины $$B$$ опустим высоту $$BH$$ на сторону $$AD$$.

По условию площади относятся так:

$$\frac{S_{ABCD}}{S_{A_1B_1C_1D_1}}= \frac{AD\cdot BH}{A_1D_1\cdot A_1B_1}= \frac{b\cdot BH}{b\cdot a}= \frac{BH}{a}=\frac12.$$

Отсюда $$BH=\frac{a}{2}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHB$$. Тогда

$$\sin \angle A=\frac{BH}{AB}=\frac{a/2}{a}=\frac12.$$

Следовательно, $$\angle A=30^\circ$$.

Ответ: $$30^\circ$$.