Вопрос 9 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: сумма углов треугольника равна 180°:
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник;
2) Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC,
отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные
стороны от прямой BC;
3) Углы DBC и ACB равны как внутренние накрестлежащие,
образованные сеущей BC с параллельными прямыми AC и BD, поэтому
сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу ABD;
4) Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC,
так как эти углы внутренние односторонние для параллельных прямых
AC и BD и сеуущей AB, то их сумма равна 180°, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Проведём через вершину $$B$$ прямую $$BD$$, параллельную прямой $$AC$$, и отметим на ней точку $$D$$ так, чтобы точки $$A$$ и $$D$$ лежали по разные стороны от прямой $$BC$$.

Тогда $$\angle DBC = \angle ACB$$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BD$$ и $$AC$$ и секущей $$BC$$.

Аналогично, $$\angle ABD = \angle BAC$$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BD$$ и $$AC$$ и секущей $$AB$$.

Сумма углов треугольника $$ABC$$ равна

$$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = \angle ABD + \angle DBC + \angle ACB.$$

Но $$\angle DBC + \angle ACB = \angle ABD$$, значит

$$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = \angle ABD + \angle ABC.$$

Углы $$\angle ABD$$ и $$\angle BAC$$ — внутренние односторонние при параллельных прямых $$AC$$ и $$BD$$ и секущей $$AB$$, поэтому

$$\angle ABD + \angle BAC = 180^\circ.$$

Следовательно, сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$.