Упр.12.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите медианы треугольника.
Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=5\text{ м}$$, $$BC=6\text{ м}$$, $$AC=7\text{ м}$$.
Проведём медианы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$. Тогда точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$, $$AC$$ и $$AB$$ соответственно, поэтому
$$BA_1=\frac{BC}{2}=3\text{ м},\qquad CB_1=\frac{AC}{2}=\frac{7}{2}\text{ м},\qquad AC_1=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}\text{ м}.$$
Из задачи 1 известны косинусы углов треугольника:
$$\cos \angle A=\frac{19}{35},\qquad \cos \angle B=\frac{1}{5},\qquad \cos \angle C=\frac{5}{7}.$$
Найдём длины медиан по теореме косинусов.
В треугольнике $$ACC_1$$:
$$CC_1^2=AC^2+AC_1^2-2\cdot AC\cdot AC_1\cdot \cos \angle A;$$
$$CC_1^2=7^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2-2\cdot 7\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{19}{35} =49+\frac{25}{4}-19=\frac{145}{4}.$$
Следовательно,
$$CC_1=\frac{\sqrt{145}}{2}\text{ м}.$$
В треугольнике $$BAA_1$$:
$$AA_1^2=AB^2+BA_1^2-2\cdot AB\cdot BA_1\cdot \cos \angle B;$$
$$AA_1^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \frac{1}{5}=25+9-6=28.$$
Значит,
$$AA_1=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\text{ м}.$$
В треугольнике $$CBB_1$$:
$$BB_1^2=BC^2+CB_1^2-2\cdot BC\cdot CB_1\cdot \cos \angle C;$$
$$BB_1^2=6^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2-2\cdot 6\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{7} =36+\frac{49}{4}-30=\frac{73}{4}.$$
Следовательно,
$$BB_1=\frac{\sqrt{73}}{2}\text{ м}.$$
Ответ: $$CC_1=\frac{\sqrt{145}}{2}\text{ м},\quad AA_1=2\sqrt{7}\text{ м},\quad BB_1=\frac{\sqrt{73}}{2}\text{ м}.$$
