Вопрос 9 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Проведём через вершину $$B$$ прямую $$BD$$, параллельную прямой $$AC$$, и отметим на ней точку $$D$$ так, чтобы точки $$A$$ и $$D$$ лежали по разные стороны от прямой $$BC$$.

Тогда $$\angle DBC=\angle ACB$$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BD$$ и $$AC$$ и секущей $$BC$$.

Аналогично, $$\angle ABD=\angle BAC$$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BD$$ и $$AC$$ и секущей $$AB$$.

Сумма углов треугольника равна

$$\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=\angle ABC+\angle DBC+\angle ABD.$$

Но углы $$\angle DBC$$ и $$\angle ABC$$ образуют развернутый угол $$\angle ABD$$, поэтому

$$\angle DBC+\angle ABC+\angle ABD=180^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$