Вопрос 9 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

I) Признак подобия треугольников по трем сторонам:
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого
треугольника, то такие треугольники подобны;
II) Отобразим условие задачи:
Доказать: признак подобия треугольников по трем сторонам;
Доказательство:
1) Пусть у треугольников ABC и A1 B1 C1:
AB=k•A1 B1, AC=k•A1 C1 и BC=k•B1 C1;
2) Подвергнем треугольник A1 B1 C1 преобразованию подобия с
коэффициентом подобия k, например гомотетии, при этом получим
некоторый треугольник A2 B2 C2;
3) Рассмотрим треугольники ABC и A2 B2 C2:
A2 B2=k•A1 B1=AB, A2 C2=k•A1 C1=AC и B2 C2=k•B1 C1=BC,
следовательно эти треугольники равны по третьему признаку;
4) Так как треугольники A1 B1 C1 и A2 B2 C2 гомотетичны и подобны, а
треугольники A2 B2 C2 и ABC равны и поэтому тоже подобны, то
треугольники A1 B1 C1 и ABC подобны, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Признак подобия треугольников по трём сторонам формулируется так: если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Докажем это. Пусть для треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$AB=k\cdot A_1B_1,\quad AC=k\cdot A_1C_1,\quad BC=k\cdot B_1C_1.$$

Построим треугольник $$A_2B_2C_2$$, подобный треугольнику $$A_1B_1C_1$$ с коэффициентом подобия $$k$$, например, с помощью гомотетии. Тогда

$$A_2B_2=k\cdot A_1B_1=AB,\quad A_2C_2=k\cdot A_1C_1=AC,\quad B_2C_2=k\cdot B_1C_1=BC.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_2B_2C_2$$ равны по трём сторонам.

Но треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ подобны по построению. Значит, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ также подобны.

Что и требовалось доказать.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

4 / 5