Вопрос 9 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: равные векторы имеют соответственно равные координаты,
а векторы с соответственно равными координатами равны;
Доказательство:
1) Пусть точки A1 (x1; x2) и A2 (x2; y2)-начало и конец вектора a;
2) Так как равный ему вектор a’ получается из вектора a параллельным
переносом, то его началом и концом будут точки:
A1′ (x1+c; y1+d) и A2′ (x2+c; y2+d)-соответственно;
3) Координаты вектора a равны:
a1=x2-x1 и a2=y2-y1;
4) Координаты вектора (a’) равны:
a1=x2+c-(x1+c)=x2+c-x1-c=x2-x1;
a2=y2+d-(y1+d)=y2+d-y1-d=y2-y1;
5) Таким образом, координаты векторов a и a’ равны, что и требовалось
Доказать;
6) Обратно: пусть соответствующие координаты векторов (A1 A2) и (A1′ A2′)
равны, докажем, что эти векторы равны;
7) Пусть x1′ и y1′-координаты точки A1′, а x2′ и y2′-координаты точки A2′;
8) По условию теоремы: x2-x1=x2′-x1′ и y2-y1=y2′-y1′;
9) Отсюда следует, что: x2’=x2+x1′-x1 и y2’=y2+y1′-y1;
10) Параллельный перенос, заданный формулами:
x’=x+x1′-x1 и y’=y+y1′-y1
переводит точку A1 в точку A1′, а точку A2 в точку A2′, то есть векторы
(A1 A2) и (A1′ A2′) равны, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть вектор $$\vec a$$ задан точками $$A_1(x_1;y_1)$$ и $$A_2(x_2;y_2)$$. Тогда его координаты равны

$$\vec a=(x_2-x_1;\,y_2-y_1).$$

Если вектор $$\vec a’$$ равен вектору $$\vec a$$, то он получается из него параллельным переносом. При переносе точки $$A_1$$ и $$A_2$$ переходят в точки

$$A_1′(x_1+c;\,y_1+d), \qquad A_2′(x_2+c;\,y_2+d).$$

Тогда координаты вектора $$\vec a’$$ равны

$$ \vec a’=\bigl((x_2+c)-(x_1+c);\,(y_2+d)-(y_1+d)\bigr) =(x_2-x_1;\,y_2-y_1). $$

Значит, равные векторы имеют соответственно равные координаты.

Обратно, пусть у векторов $$\overrightarrow{A_1A_2}$$ и $$\overrightarrow{A_1’A_2′}$$ соответствующие координаты равны. Обозначим координаты точек $$A_1’$$ и $$A_2’$$ через $$x_1′,y_1’$$ и $$x_2′,y_2’$$. Тогда

$$x_2-x_1=x_2′-x_1′, \qquad y_2-y_1=y_2′-y_1′.$$

Отсюда

$$x_2’=x_2+x_1′-x_1, \qquad y_2’=y_2+y_1′-y_1.$$

Параллельный перенос, заданный формулами

$$x’=x+x_1′-x_1, \qquad y’=y+y_1′-y_1,$$

переводит точку $$A_1$$ в точку $$A_1’$$ и точку $$A_2$$ в точку $$A_2’$$. Следовательно, векторы $$\overrightarrow{A_1A_2}$$ и $$\overrightarrow{A_1’A_2′}$$ равны.