Упр.9.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: четырехугольник, у которого есть центр симметрии, является
параллелограммом;
Доказательство:
1) Центрально-симметричные фигуры при преобразовании симметрии
относительно некторой точки переходят сами в себя, следовательно
у многоугольников вершины переходят в другие вершины или сами в
себя (если эта вершина является центром симметрии);
2) Так как вершины четырехугольника не могут лежать на одной прямой,
то ни одна из его вершин не является центром симметрии;
3) Пусть у четырехугольника ABCD точка O является центром симметрии;
4) Точка A переходит в точку C, а точка B переходит в точку D, тогда по
определению симметрии относительно точки: AO=OC и BO=OD;
5) AC и BD являются диагоналями четырехугольника ABCD, а
O-точка их пересечения (так как она принадлежит обоим отрезкам),
следовательно ABCD-параллелограмм, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть у четырёхугольника $$ABCD$$ точка $$O$$ является центром симметрии. Тогда при центральной симметрии относительно точки $$O$$ вершина $$A$$ переходит в вершину $$C$$, а вершина $$B$$ — в вершину $$D$$.

По определению центральной симметрии получаем:

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Значит, точка $$O$$ является серединой диагоналей $$AC$$ и $$BD$$. Следовательно, диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся пополам.

А если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.