Вопрос 9 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что симметрия относительно точки есть движение.

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — две произвольные точки фигуры $$F$$, а при симметрии относительно точки $$O$$ они переходят в точки $$X’$$ и $$Y’$$ фигуры $$F’$$.

По определению центральной симметрии точка $$O$$ является серединой отрезков $$XX’$$ и $$YY’$$, значит

$$OX’=OX,\qquad OY’=OY.$$

Углы $$\angle XOY$$ и $$\angle X’OY’$$ равны как вертикальные. Тогда треугольники $$XOY$$ и $$X’OY’$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$OX=OX’,\qquad OY=OY’,\qquad \angle XOY=\angle X’OY’.$$

Следовательно, соответствующие стороны равны:

$$XY=X’Y’.$$

Так как расстояние между любыми двумя точками фигуры сохраняется, симметрия относительно точки является движением.