Упр.4.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Пусть $$AB \parallel CD$$, а $$BD$$ — секущая. Тогда внутренние накрест лежащие углы $$\angle ABD$$ и $$\angle BDC$$ равны.

Проведём биссектрисы этих углов: $$BE$$ — биссектриса угла $$\angle ABD$$, а $$DF$$ — биссектриса угла $$\angle BDC$$. Тогда

$$\angle EBD=\frac12\angle ABD,\qquad \angle BDF=\frac12\angle BDC.$$

Так как $$\angle ABD=\angle BDC$$, то

$$\angle EBD=\angle BDF.$$

Углы $$\angle EBD$$ и $$\angle BDF$$ — внутренние накрест лежащие при пересечении прямых $$BE$$ и $$DF$$ секущей $$BD$$. Следовательно,

$$BE \parallel DF.$$

Что и требовалось доказать.