Вопрос 8 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Проведём из вершины $$C$$ перпендикуляр $$CD$$ к прямой $$AB$$.

Тогда $$AB=AD+DB$$. Кроме того, $$AC$$ и $$BC$$ — наклонные к прямой $$AB$$, поэтому их проекции на $$AB$$ меньше самих наклонных: $$AD<AC$$ и $$DB<BC$$.

Сложим эти неравенства:

$$AB=AD+DB<AC+BC.$$

Аналогично, проводя перпендикуляры из вершин $$A$$ и $$B$$ к противоположным сторонам, получаем:

$$BC<AB+AC,$$

$$AC<AB+BC.$$

Следовательно, в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.