Упр.3.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками $$A$$ и $$B$$, из которых одна (точка $$A$$) недоступна, провешивают направление отрезка $$AB$$ (рис. 61) и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок $$BE$$. Выбирают на местности точку $$D$$, из которой видна точка $$A$$ и можно пройти к точкам $$B$$ и $$E$$. Провешивают прямые $$BDQ$$ и $$EDF$$ и отмеряют $$FD=DE$$ и $$DQ=BD$$. Затем идут по прямой $$FQ$$, глядя на точку $$A$$, пока не найдут точку $$H$$, которая лежит на прямой $$AD$$. Тогда $$HQ$$ равно искомому расстоянию. Докажите.
Рассмотрим треугольники $$BDE$$ и $$FDQ$$.
1) $$\angle BDE=\angle FDQ$$ как вертикальные углы.
2) По условию $$FD=DE$$ и $$DQ=BD$$, значит, $$\triangle BDE \cong \triangle FDQ$$ по первому признаку равенства треугольников. Тогда $$\angle DQF=\angle DBE$$.
3) Углы $$\angle DQH$$ и $$\angle DQF$$ смежные, поэтому
$$\angle DQH=180^\circ-\angle DQF.$$
А углы $$\angle ABD$$ и $$\angle DBE$$ тоже смежные, значит
$$\angle ABD=180^\circ-\angle DBE.$$
Так как $$\angle DQF=\angle DBE$$, то $$\angle DQH=\angle ABD$$.
4) Углы $$\angle ADB$$ и $$\angle QDH$$ равны как вертикальные.
5) Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle QDH$$ по второму признаку равенства треугольников, откуда
$$HQ=AB.$$
Таким образом, искомое расстояние $$HQ$$ равно $$AB$$, что и требовалось доказать.
