Упр.13.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Выяснить: сколько диагоналей у n- угольника;
Решение:
1) Пусть A1 A2 A3…An-данный n- угольник;
2) Из точки A1 можно провести (n-1) отрезков, соединяющих ее с
другими вершинами многоугольника, однако два из них (A1 A2 и A1 An)
являются сторонами n- угольника, значит остается (n-3) диагонали;
3) Аналогичными рассуждениями приходим к выводу, что из каждой
вершины многоугольника можно провести (n-3) диагонали, тогда
всего дигоналей: n•(n-3);
4) Так как диагонали соединяют две вершины многоугольника, то
каждая из них повторяется дважды (например A1 A3 и A3 A1), значит
остается только 1/2•n(n-3) уникальных диагоналей.
Ответ: 1/2 n•(n-3).

Подробный ответ

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_n$$ — данный $$n$$-угольник.

Из вершины $$A_1$$ можно провести $$n-1$$ отрезков к другим вершинам многоугольника. Но два из них, $$A_1A_2$$ и $$A_1A_n$$, являются сторонами, значит, диагоналей из вершины $$A_1$$ будет $$n-3$$.

Аналогично из каждой вершины многоугольника можно провести $$n-3$$ диагонали. Тогда всего получится $$n(n-3)$$ диагоналей.

При этом каждая диагональ учитывается дважды, так как соединяет две вершины. Поэтому число различных диагоналей равно

$$\frac{n(n-3)}{2}.$$