Вопрос 8 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм. Проведём диагональ $$BD$$ и отметим на ней середину $$O$$. На продолжении отрезка $$AO$$ отложим отрезок $$OC_1$$, равный $$AO$$.

Тогда в четырёхугольнике $$ABC_1D$$ диагонали $$AC_1$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся ею пополам. По теореме о признаке параллелограмма четырёхугольник $$ABC_1D$$ является параллелограммом.

Следовательно, $$BC_1 \parallel AD$$. Но через точку $$B$$ можно провести только одну прямую, параллельную $$AD$$, значит, прямая $$BC_1$$ совпадает с прямой $$BC$$.

Аналогично получаем, что $$DC_1$$ совпадает с прямой $$DC$$, значит, точка $$C_1$$ совпадает с точкой $$C$$.

Итак, параллелограмм $$ABCD$$ совпадает с параллелограммом $$ABC_1D$$. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.