Упр.5.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ.
2. Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.

1) Пусть окружность с центром в точке $$O$$ и прямая касаются в точках $$A$$ и $$B$$. Тогда радиусы $$OA$$ и $$OB$$ перпендикулярны касательной, то есть

$$\angle OAB=90^\circ,\qquad \angle OBA=90^\circ.$$

Но в треугольнике не может быть двух прямых углов. Значит, окружность и прямая могут иметь только одну точку касания.

Ответ: не могут.

2) Пусть $$a$$ — касательная к окружности в точке $$A$$. Предположим, что кроме точки $$A$$ у касательной и окружности есть ещё общая точка $$B$$, $$B\ne A$$.

Тогда $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности, значит треугольник $$AOB$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle OAB=\angle OBA.$$

Но касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому

$$\angle OAB=90^\circ.$$

Следовательно, $$\angle OBA=90^\circ$$, то есть в треугольнике $$AOB$$ два прямых угла, что невозможно. Противоречие доказывает, что касательная не имеет с окружностью других общих точек, кроме точки касания.