Вопрос 8 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Отобразим условие задачи:
Доказать: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм;
2) Проведем диагональ BD и отметим на ней середину O, а на продол-
жении отрезка AO отложим отрезок OC1, равный AO;
3) Согласно теореме 6.1 четырехугольник ABC1 D является параллело-
граммом, следовательно, прямая BC1 параллельна AD, но через точку
B можно провести только одну прямую, параллельную AD, значит
прямая BC1 совпадает с прямой BC;
4) Аналогично доказывается, что прямая DC1 совпадает с прямой DC,
значит точка C1 совпадает с точкой C;
5) Параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом ABC1 D,
следовательно его диагонали пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм. Проведём диагональ $$BD$$ и отметим на ней середину $$O$$. На продолжении отрезка $$AO$$ отложим отрезок $$OC_1$$, равный $$AO$$.

Тогда точки $$A, O, C_1$$ лежат на одной прямой, причём $$AO=OC_1$$, значит $$O$$ — середина отрезка $$AC_1$$. По теореме о четырёхугольнике, диагонали которого пересекаются и делятся пополам, четырёхугольник $$ABC_1D$$ является параллелограммом.

Следовательно, $$BC_1 \parallel AD$$. Но через точку $$B$$ можно провести только одну прямую, параллельную $$AD$$, значит прямая $$BC_1$$ совпадает с прямой $$BC$$.

Аналогично получаем, что $$DC_1$$ совпадает с прямой $$DC$$. Значит, точка $$C_1$$ совпадает с точкой $$C$$.

Итак, параллелограмм $$ABCD$$ совпадает с параллелограммом $$ABC_1D$$. Следовательно, его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.