Упр.13.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Сколько диагоналей у $$n$$-угольника?

Рассмотрим $$n$$-угольник $$A_1A_2\dots A_n$$.

Из вершины $$A_1$$ можно провести $$n-1$$ отрезков к другим вершинам многоугольника. Но два из них, $$A_1A_2$$ и $$A_1A_n$$, являются сторонами, значит, диагоналей из вершины $$A_1$$ будет $$n-3$$.

Аналогично из каждой вершины $$n$$-угольника можно провести $$n-3$$ диагонали. Тогда всего получится

$$n(n-3).$$

Но каждая диагональ соединяет две вершины, поэтому при подсчёте она была учтена дважды. Следовательно, число диагоналей равно

$$\frac{n(n-3)}{2}.$$

Ответ: $$\frac{n(n-3)}{2}$$.