Упр.11.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны угол и внутри его точка А. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А.

Пусть дан угол с вершиной $$O$$ и точка $$A$$, лежащая внутри него.

1. Построим биссектрису $$OF$$ данного угла.
2. Из точки $$F$$ опустим перпендикуляр $$FB$$ на одну из сторон угла.
3. Проведём окружность с центром в точке $$F$$ и радиусом $$FB$$. Эта окружность касается обеих сторон угла, так как точка $$F$$ лежит на биссектрисе и равноудалена от его сторон.
4. Проведём луч $$OA$$ и отметим точку $$H$$ — одну из точек пересечения этого луча с построенной окружностью.
5. Через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную прямой $$HF$$, и обозначим через $$F_1$$ точку её пересечения с биссектрисой $$OF$$.
6. Проведём окружность с центром в точке $$F_1$$ и радиусом $$F_1A$$. Она проходит через точку $$A$$.

Так как $$F_1$$ лежит на биссектрисе угла, то расстояния от $$F_1$$ до сторон угла равны. Кроме того, прямая через $$A$$ параллельна $$HF$$, поэтому соответствующие углы равны, и окружность с центром $$F_1$$ касается обеих сторон угла.

Следовательно, построенная окружность является искомой.