Вопрос 8 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: правильный многоугольник является вписанным в
окружность и описанным около окружности;
Доказательство:
1) Пусть A и B-две соседние вершины правильного многоугольника;
2) Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B, они
пересекутся в некоторой точке O;
3) Треугольник AOB-равнобедренный с основанием AB и углами при
основании, равными a/2, где a- угол многоугольника;
4) Соединим точку O с вершиной C, соседней с B;
5) Рассмотрим треугольники ABO и CBO:
AB=CB (как стороны правильного многоугольника), OB-общая
сторона, а углы при вершине B равны a/2, значит эти треугольники равны
по первому признаку, отсюда следует что:
Треугольник CBO-равнобедренный с углом при вершине C, равным a/2, то есть
CO-биссектриса угла C многоугольника;
6) Теперь соединим точку O с вершиной D, соседней с C, аналогично
доказывается, что треугольник COD-равнобедренный и
DO-биссектриса угла D многоугольника;
7) В итогу получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона
есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина-точка O,
является равнобедренным и равным другим таким треугольникам;
8) Проведем высоты OH1, OH2, OH3… этих треугольников, они будут
равны как катеты равных прямоугольных треугольников с одинаковыми
гипотенузами и острыми углами;
9) Таким образом, все вершины треугольника находятся на окружности
с центром O и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все
стороны многоугольника касаются окружности с центром O и радиусом,
равным высотам треугольников, опущенным из вершины O, что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$A$$ и $$B$$ — две соседние вершины правильного многоугольника. Проведём биссектрисы углов многоугольника из вершин $$A$$ и $$B$$; они пересекутся в точке $$O$$.

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, поэтому его углы при основании равны $$\frac{\alpha}{2}$$, где $$\alpha$$ — угол правильного многоугольника.

Соединим точку $$O$$ с вершиной $$C$$, соседней с $$B$$. Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$CBO$$:

$$AB=CB$$ — как стороны правильного многоугольника, $$OB$$ — общая сторона, а $$\angle ABO=\angle OBC=\frac{\alpha}{2}$$. Значит, $$\triangle ABO \cong \triangle CBO$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда следует, что $$\triangle CBO$$ равнобедренный, а значит, $$CO$$ — биссектриса угла $$C$$ многоугольника.

Аналогично, если соединить $$O$$ с следующей вершиной $$D$$, то получим, что $$DO$$ тоже является биссектрисой соответствующего угла. Продолжая рассуждение, получаем, что точка $$O$$ лежит на биссектрисах всех углов правильного многоугольника.

Теперь опустим из точки $$O$$ перпендикуляры на стороны многоугольника: $$OH_1, OH_2, OH_3, \dots$$. Эти отрезки равны, так как соответствующие прямоугольные треугольники равны.

Следовательно, все вершины многоугольника равноудалены от точки $$O$$, значит, они лежат на окружности с центром $$O$$. Кроме того, все стороны многоугольника равноудалены от точки $$O$$, значит, каждая сторона касается окружности с центром $$O$$.

Итак, правильный многоугольник является и вписанным в окружность, и описанным около окружности.