Вопрос 8 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Подробный ответ

Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$\angle C=\angle C_1,\qquad AC=k\cdot A_1C_1,\qquad BC=k\cdot B_1C_1.$$

Построим треугольник $$A_2B_2C_2$$, полученный из треугольника $$A_1B_1C_1$$ преобразованием подобия с коэффициентом $$k$$, например гомотетией.

Тогда

$$\angle C_2=\angle C_1=\angle C,$$

а также

$$A_2C_2=k\cdot A_1C_1=AC,\qquad B_2C_2=k\cdot B_1C_1=BC.$$

Следовательно, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_2B_2C_2$$ две стороны равны попарно, и угол между ними равен. Значит, эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

Но треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ подобны по построению, а треугольники $$A_2B_2C_2$$ и $$ABC$$ равны, значит, они тоже подобны. Отсюда следует, что подобны и треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$ABC$$.

Итак, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.