Упр.9.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Следовательно, при центральной симметрии относительно точки $$O$$ вершина $$A$$ переходит в вершину $$C$$, а вершина $$B$$ — в вершину $$D$$.

Возьмём произвольную точку $$E$$ на стороне $$BC$$ и проведём прямую $$EO$$. Обозначим через $$F$$ точку пересечения этой прямой со стороной $$AD$$.

Рассмотрим треугольники $$AOF$$ и $$COE$$.

У них:

$$\angle AOF=\angle COE$$ как вертикальные;
$$\angle AFO=\angle CEO$$ как внутренние накрест лежащие при $$AD \parallel BC$$ и секущей $$EF$$.

Значит, $$\triangle AOF \sim \triangle COE$$ по двум углам. Но из равенства соответствующих сторон, получаемого из свойств параллелограмма, следует, что эти треугольники равны, поэтому

$$OE=OF.$$

Значит, точки $$E$$ и $$F$$ симметричны относительно точки $$O$$.

Аналогично доказывается, что любая точка стороны $$AB$$ переходит в точку стороны $$CD$$.

Итак, при центральной симметрии относительно точки $$O$$ каждая точка параллелограмма переходит в другую точку этого же параллелограмма. Следовательно, точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром симметрии.