Упр.6.77 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Середины сторон любого треугольника не могут лежать на одной прямой (по теореме 1.1). А могут ли основания высот треугольника лежать на одной прямой и в каком случае?

Пусть треугольник $$ABC$$ прямоугольный, $$\angle B=90^\circ$$.

Тогда $$AB\perp BC$$. Следовательно, высота, опущенная из вершины $$A$$ на сторону $$BC$$, совпадает с прямой $$AB$$, а высота, опущенная из вершины $$C$$ на сторону $$AB$$, совпадает с прямой $$BC$$. Их основаниями будет точка $$B$$.

Проведём третью высоту $$BB_1$$ из вершины $$B$$ к гипотенузе $$AC$$. Тогда основания всех трёх высот: $$B$$, $$B$$ и $$B_1$$ — лежат на одной прямой $$BB_1$$.

Значит, основания высот треугольника могут лежать на одной прямой, но только в случае прямоугольного треугольника.

Ответ: могут, в случае прямоугольного треугольника.