Упр.6.76 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Решите предыдущую задачу для случая равнобедренного треугольника, не являющегося прямоугольным и равносторонним. Найдите, сколько различных точек лежит на окружности Эйлера в случае равнобедренного треугольника.

Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$. Проведём высоты $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то высота $$BB_1$$ является также медианой, значит, точка $$B_1$$ — середина стороны $$AC$$.

Обозначим через $$H$$ точку пересечения высот треугольника — ортоцентр. Тогда середины отрезков $$AH$$, $$BH$$ и $$CH$$ обозначим через $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$ соответственно.

Кроме того, точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$, $$AC$$ и $$AB$$, а точки $$A_3$$ и $$C_3$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AB$$. В равнобедренном, но не равностороннем треугольнике эти точки попарно различны: иначе треугольник был бы равносторонним.

Следовательно, на окружности Эйлера лежат восемь различных точек:

$$A_1,\ A_2,\ A_3,\ B_1,\ B_2,\ C_1,\ C_2,\ C_3.$$

Ответ: $$8$$.