Упр.6.76 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найти: сколько различных точек лежит на окружности Эйлера в случае
равнобедренного треугольника;
Решение:
1) Пусть ABC-данный равнобедренный треугольник с основанием AC;
2) Проведем высоты AA1, BB1 и CC1;
3) Так как треугольник ABC-равнобедренный, то высота BB1 является медианой,
значит точка B1-середина стороны AC;
4) Точки A3 и C3-середины сторон BC и AB не совпадают с точками
A1 и C1, так как иначе треугольник ABC был бы равнобедренным с основаниями BC
и AB, то есть являлся бы равносторонним; ;
5) Отметим точку H на пересечении высот, она является ортоцентром
треугольника ABC;
6) Отметим точки A2, B2, H2-середины отрезков AH, BH и CH;
7) Так как высоты уже пересекаются в точке H, то эти точки отличны
друг от друга;
8) Таким образом, на окружности Эйлера лежат восемь различных точек:
A1, A2, A3, B1, B2, C1, C2, C3;
Ответ: восемь.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$. Проведём его высоты $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то высота $$BB_1$$ является также медианой. Значит, точка $$B_1$$ — середина стороны $$AC$$.

Точки $$A_3$$ и $$C_3$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AB$$ — не совпадают с точками $$A_1$$ и $$C_1$$, иначе треугольник $$ABC$$ был бы равнобедренным с основаниями $$BC$$ и $$AB$$, то есть равносторонним, что противоречит условию.

Обозначим через $$H$$ точку пересечения высот треугольника. Это ортоцентр треугольника $$ABC$$.

Тогда середины отрезков $$AH$$, $$BH$$ и $$CH$$ обозначим соответственно $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$. Эти точки различны, так как высоты пересекаются в одной точке $$H$$, а треугольник не является прямоугольным.

Следовательно, на окружности Эйлера лежат восемь различных точек:

$$A_1,\ A_2,\ A_3,\ B_1,\ B_2,\ C_1,\ C_2,\ C_3.$$