Упр.6.74 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении $$2:1$$, считая от вершины.
- Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ проведены медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$, пересекающиеся в точке $$M$$.
Проведём через точки $$A_1$$ и $$B_1$$ прямую, параллельную стороне $$AB$$, и обозначим точки её пересечения с медианами $$AA_1$$ и $$BB_1$$ через $$P$$ и $$Q$$ соответственно.
Тогда четырёхугольник $$A_1B_1QP$$ — параллелограмм, так как $$A_1B_1 \parallel PQ$$ и $$A_1B_1 = PQ$$ как средние линии треугольников $$ACB$$ и $$AMB$$ с общим основанием $$AB$$.
Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, значит, $$A_1M = MP$$.
Но точка $$P$$ — середина отрезка $$AM$$, следовательно, $$AP = PM$$. Тогда
$$AP = PM = A_1M,$$
откуда
$$AM = AP + PM = 2\cdot A_1M.$$
Значит, точка $$M$$ делит медиану $$AA_1$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$A$$.
Аналогично получаем, что точка $$M$$ делит медиану $$BB_1$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$B$$.
Теперь рассмотрим медиану, проведённую из вершины $$C$$. Она также должна проходить через точку $$M$$, так как через точку пересечения двух медиан проходит и третья медиана. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, а точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.
