Упр.6.72 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

Пусть даны основания трапеции $$a$$ и $$b$$, где $$a>b$$, а также диагонали $$d_1$$ и $$d_2$$.

1. На произвольной прямой построим отрезок $$AD=a$$.
2. На той же прямой отложим отрезок $$DK=b$$ так, чтобы точка $$K$$ не лежала на луче $$DA$$.
3. Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$d_1$$, а из точки $$K$$ — окружность радиуса $$d_2$$. Обозначим через $$C$$ одну из точек их пересечения.
4. Из точки $$D$$ проведём окружность радиуса $$d_2$$, а из точки $$C$$ — окружность радиуса $$b$$. Обозначим через $$B$$ одну из точек их пересечения.

Тогда $$DB=d_2$$ и $$CK=d_2$$, а также $$BC=b$$ и $$DK=b$$. Следовательно, четырёхугольник $$DBCK$$ — параллелограмм, значит $$BC\parallel DK$$. Но точки $$A, D, K$$ лежат на одной прямой, поэтому $$DK\parallel AD$$. Отсюда $$BC\parallel AD$$.

Таким образом, четырёхугольник $$ABCD$$ — искомая трапеция: у неё основания $$AD$$ и $$BC$$ равны соответственно $$a$$ и $$b$$, а диагонали $$AC=d_1$$ и $$BD=d_2$$.