Упр.7.70 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Диагональ прямоугольника в 2 раза больше одной из его сторон. Найдите углы между диагоналями.

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Обозначим $$AD=BC=x$$. По условию диагональ в 2 раза больше стороны, значит

$$AC=BD=2x.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. Тогда

$$\sin \angle ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{x}{2x}=\frac12,$$

откуда $$\angle ABD=30^\circ.$$

Аналогично в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ получаем

$$\sin \angle CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{x}{2x}=\frac12,$$

значит $$\angle CAB=30^\circ.$$

Теперь найдём угол между диагоналями:

$$\angle AOB=180^\circ-\angle OAB-\angle ABO=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ.$$

Смежный с ним угол равен

$$\angle AOD=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Ответ: $$120^\circ$$ и $$60^\circ$$.