Упр.6.70 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Высота, проведённая из вершины тупого угла равнобокой трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины $$a$$ и $$b$$, $$a>b$$. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция, у которой $$AB=CD$$, а высота $$BE$$ делит большее основание $$AD$$ на отрезки $$AE=b$$ и $$ED=a$$.

Тогда

$$AD=AE+ED=a+b.$$

Проведём из вершины $$C$$ высоту $$CE_1$$. Прямоугольные треугольники $$ABE$$ и $$CDE_1$$ равны по гипотенузе и острому углу, значит

$$E_1D=AE=b.$$

Тогда

$$EE_1=ED-E_1D=a-b.$$

Так как $$BE\perp AD$$ и $$CE_1\perp AD$$, то $$BE\parallel CE_1$$. Следовательно, четырёхугольник $$BCE_1E$$ — параллелограмм, поэтому

$$BC=EE_1=a-b.$$

Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований:

$$FF_1=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}\bigl((a+b)+(a-b)\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 2a=a.$$

Ответ: $$a$$.