Упр.6.70 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: в равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого
угла, делит большее основание на отрезки a и b (a > b);
Найти: среднюю линию трапеции;
Решение:
1) Пусть ABCD-данная равнобокая трапеция, у которой AB=CD и
высота BE делит основание AD на отрезки AE=b и ED=a;
2) AD=AE+ED=a+b;
3) По доказанному в задаче 60: угол A = углу D;
4) Проведем из вершины C высоту CE1;
5) Прямоугольные треугольники ABE и CDE1 равны по гипотенузе и
острому углу, отсюда E1 D=AE=b;
6) EE1=ED-E1 D=a-b;
7) BE перпендикулярен AD и CE1 перпендикулярен AD, значит BE||CE1;
8) Четырехугольник BCE1 E- параллелограмм (по определению),
отсюда BC=EE1=a-b;
9) Средняя линия FF1 трапеции ABCD равна:
FF1=1/2 (AD+BC)=1/2 (a+b+a-b)=1/2•2a=a;
Ответ: a.

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция, причём $$AB=CD$$. Высота $$BE$$, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание $$AD$$ на отрезки $$AE=b$$ и $$ED=a$$, где $$a>b$$.

Тогда

$$AD=AE+ED=a+b.$$

Проведём из вершины $$C$$ высоту $$CE_1$$. Тогда прямоугольные треугольники $$ABE$$ и $$CDE_1$$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому

$$E_1D=AE=b.$$

Следовательно,

$$EE_1=ED-E_1D=a-b.$$

Так как $$BE\perp AD$$ и $$CE_1\perp AD$$, то $$BE\parallel CE_1$$. Кроме того, $$BE=CE_1$$ как высоты трапеции. Значит, четырёхугольник $$BCE_1E$$ — параллелограмм, откуда

$$BC=EE_1=a-b.$$

Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований:

$$ FF_1=\frac{AD+BC}{2} =\frac{(a+b)+(a-b)}{2} =\frac{2a}{2} =a. $$

Ответ

$$a$$