Вопрос 7 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите неравенство треугольника.
Пусть $$A$$, $$B$$ и $$C$$ — три точки.
Если какие-либо две точки совпадают или все три точки совпадают, то утверждение очевидно.
Рассмотрим два случая.
Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на одной прямой. Тогда одна из них лежит между двумя другими, например $$B$$ между $$A$$ и $$C$$. Поэтому
$$AB+BC=AC.$$
Отсюда каждое из расстояний не больше суммы двух других.
Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ не лежат на одной прямой. Проведём из точки $$C$$ перпендикуляр $$CD$$ к прямой $$AB$$.
Тогда
$$AB=AD+DB.$$
Кроме того, $$AD<AC$$ и $$BD<BC$$ как наклонные больше своих проекций. Следовательно,
$$AB=AD+DB<AC+BC.$$
Аналогично доказываются неравенства $$AC<AB+BC$$ и $$BC<AB+AC$$.
Итак, расстояние между двумя точками не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Неравенство треугольника доказано.
