Упр.3.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: если медиана и углы, на которые медиана разбивает
угол треугольника равны, то два треугольники равны;
Доказательство:
1) Пусть у треугольников ABC и A1 B1 C1 равны медианы AM и A1 M1,
а также угол BAM = углу B1 A1 M1 и угол CAM = углу C1 A1 M1;
2) На прямой AM в полуплоскости противоположной той, в которой
лежит отрезок AM, относительно прямой BC отложим отрезок MK,
равный отрезку AM;
3) Углы BMK и AMC равны как вертикальные;
4) AM медиана треугольника ABC, значит BM=MC;
5) Треугольники AMC и BMK равны по первому признаку, значит
BK=AC и угол MKB = углу MAC;
6) Аналогичные построения проведем для треугольник A1 B1 M1, тогда
треугольник A1 M1 C1=треугольник B1 M1 K1, отсюда B1 K1=A1 C1 и угол M1 K1 B1 = углу M1 A1 C1;
7) Так как AM=A1 M1, то AK=2AM=2A1 M1=A1 K1;
8) угол MKB = углу MAC = углу C1 A1 M1 = углу M1 K1 B1;
9) Таким образом, треугольники ABK и A1 B1 K1 равны по второму
признаку, значит AB=A1 B1 и B1 K1=BK, отсюда AC=A1 C1;
10) угол ABC = углу BAM+ угол MAC = углу B1 A1 M1+ угол M1 A1 C1 = углу A1 B1 C1;
11) Следовательно, треугольники ABC и A1 B1 C1 равны по первому
признаку, что и требовалось доказать.

Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ проведены медианы $$AM$$ и $$A_1M_1$$, причём $$AM=A_1M_1$$, $$\angle BAM=\angle B_1A_1M_1$$ и $$\angle CAM=\angle C_1A_1M_1$$.

Отложим на прямой $$AM$$ в полуплоскости, противоположной той, где лежит отрезок $$BC$$, отрезок $$MK$$ так, что $$MK=AM$$.

Тогда $$\angle BMK=\angle AMC$$ как вертикальные. Кроме того, $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, значит $$BM=MC$$.

Следовательно, треугольники $$AMC$$ и $$BMK$$ равны по первому признаку, откуда

$$BK=AC,\qquad \angle MKB=\angle MAC.$$

Аналогично для треугольника $$A_1B_1C_1$$ строим точку $$K_1$$ на прямой $$A_1M_1$$ так, что $$M_1K_1=A_1M_1$$. Тогда

$$B_1K_1=A_1C_1,\qquad \angle M_1K_1B_1=\angle M_1A_1C_1.$$

Так как $$AM=A_1M_1$$, то

$$AK=2AM=2A_1M_1=A_1K_1.$$

Кроме того,

$$\angle MKB=\angle MAC=\angle C_1A_1M_1=\angle M_1K_1B_1.$$

Значит, треугольники $$ABK$$ и $$A_1B_1K_1$$ равны по второму признаку, поэтому

$$AB=A_1B_1,\qquad BK=B_1K_1.$$

Из равенства $$BK=B_1K_1$$ и уже найденных равенств $$BK=AC$$, $$B_1K_1=A_1C_1$$ получаем

$$AC=A_1C_1.$$

Наконец,

$$\angle ABC=\angle BAM+\angle MAC=\angle B_1A_1M_1+\angle M_1A_1C_1=\angle A_1B_1C_1.$$

Итак, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны две стороны и угол между ними:

$$AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1.$$

Следовательно, треугольники равны по первому признаку.

Ответ

Треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны.