Упр.3.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.
Пусть у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны медианы $$AM$$ и $$A_1M_1$$, а также $$\angle BAM=\angle B_1A_1M_1$$ и $$\angle CAM=\angle C_1A_1M_1$$.
На прямой $$AM$$ в полуплоскости, противоположной той, в которой лежит отрезок $$AM$$ относительно прямой $$BC$$, отложим отрезок $$MK$$, равный $$AM$$.
Тогда $$\angle BMK=\angle AMC$$ как вертикальные. Так как $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то $$BM=MC$$.
Следовательно, треугольники $$AMC$$ и $$BMK$$ равны по первому признаку, значит
$$BK=AC,\qquad \angle MKB=\angle MAC.$$
Аналогично для треугольника $$A_1B_1C_1$$ строим точку $$K_1$$ так, что $$M_1K_1=A_1M_1$$. Тогда
$$B_1K_1=A_1C_1,\qquad \angle M_1K_1B_1=\angle M_1A_1C_1.$$
Так как $$AM=A_1M_1$$, то
$$AK=AM+MK=2AM=2A_1M_1=A_1K_1.$$
Кроме того,
$$\angle MKB=\angle MAC=\angle C_1A_1M_1=\angle M_1K_1B_1.$$
Значит, треугольники $$ABK$$ и $$A_1B_1K_1$$ равны по второму признаку, откуда
$$AB=A_1B_1,\qquad BK=B_1K_1.$$
Но тогда из $$BK=AC$$ и $$B_1K_1=A_1C_1$$ получаем
$$AC=A_1C_1.$$
Наконец,
$$\angle ABC=\angle BAM+\angle MAC,$$
$$\angle A_1B_1C_1=\angle B_1A_1M_1+\angle M_1A_1C_1.$$
По условию $$\angle BAM=\angle B_1A_1M_1$$ и $$\angle MAC=\angle M_1A_1C_1$$, значит
$$\angle ABC=\angle A_1B_1C_1.$$
Итак, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны две стороны и угол между ними:
$$AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1.$$
Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.
