Вопрос 7 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. По условию $$OA=OC$$ и $$OB=OD$$.

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$COB$$. У них:

• $$\angle AOD=\angle COB$$ как вертикальные;
• $$OA=OC$$;
• $$OD=OB$$.

Следовательно, $$\triangle AOD=\triangle COB$$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда $$\angle ODA=\angle OBC$$.

Углы $$ODA$$ и $$OBC$$ — накрест лежащие при прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$BD$$, значит $$AD\parallel BC$$.

Аналогично, рассматривая треугольники $$AOB$$ и $$COD$$, получаем их равенство, откуда $$AB\parallel CD$$.

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон параллельны. Значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.