Упр.5.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Подробный ответ

Пусть дан треугольник $$ABC$$.

Проведём серединные перпендикуляры к сторонам $$BC$$ и $$AC$$. Обозначим точки их пересечения со сторонами через $$A_1$$ и $$B_1$$ соответственно.

Эти перпендикуляры пересекутся в точке $$O$$. Такая точка единственна, так как две прямые могут пересекаться только в одной точке.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB_1$$ и $$COB_1$$. У них:

$$OB_1$$ — общий катет;
$$B_1A = B_1C$$, так как $$B_1$$ — середина стороны $$AC$$.

Следовательно, $$\triangle AOB_1 \cong \triangle COB_1$$ по двум катетам, откуда $$AO=OC$$.

Аналогично, в прямоугольных треугольниках $$COA_1$$ и $$BOA_1$$:

$$OA_1$$ — общий катет;
$$A_1B = A_1C$$, так как $$A_1$$ — середина стороны $$BC$$.

Значит, $$\triangle COA_1 \cong \triangle BOA_1$$ по двум катетам, откуда $$OC=OB$$.

Итак, $$AO=BO=CO$$. Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин треугольника $$ABC$$, значит, она является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Так как точка $$O$$ единственна, то и описанная около треугольника окружность единственна.