Вопрос 7 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Отобразим условие задачи:
Доказать: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный четырехугольник, а O-точка пересечения
его диагоналей;
2) Рассмотрим треугольники AOD и COB:
угол AOD = углу BOC (как вертикальные), OD=OB и OA=OC (по условию),
значит треугольник AOD=треугольник COB (по первому признаку), отсюда угол OBC = углу ODA;
3) Так как у прямых AD и BC с секущей BD накрест лежащие углы OBC
и ODA равны, то эти прямые параллельны;
4) Аналогично доказывается параллельность прямых AB и CD из
равенства треугольников AOB и COD;
5) Так как противолежащие стороны четырехугольника ABCD
параллельны, то он является параллелограммом (по определению),
что и требовалось доказать.

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. По условию $$OA=OC$$ и $$OB=OD$$.

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$COB$$. У них:

• $$OA=OC$$;
• $$OD=OB$$;
• $$\angle AOD=\angle COB$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle COB$$ по первому признаку равенства треугольников. Тогда $$\angle ODA=\angle OBC$$.

Углы $$\angle ODA$$ и $$\angle OBC$$ — накрест лежащие при прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$BD$$. Значит, $$AD \parallel BC$$.

Аналогично, из равенства треугольников $$AOB$$ и $$COD$$ получаем $$AB \parallel CD$$.

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон параллельны. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.