Упр.15.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дан треугольник $$ABC$$. Плоскость, параллельная прямой $$AB$$, пересекает сторону $$AC$$ этого треугольника в точке $$A_1$$, а сторону $$BC$$ — в точке $$B_1$$. Найдите длину отрезка $$A_1B_1$$, если:
1) $$AB=15\text{ см}$$, $$AA_1:AC=2:3$$;
2) $$AB=8\text{ см}$$, $$AA_1:A_1C=5:3$$;
3) $$B_1C=10\text{ см}$$, $$AB:BC=4:5$$;
4) $$AA_1=a$$, $$AB=b$$, $$A_1C=c$$.

Подробный ответ

Так как плоскость пересекает стороны $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$A_1$$ и $$B_1$$ и параллельна прямой $$AB$$, то в плоскости треугольника получаем $$A_1B_1 \parallel AB$$.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C$$ подобны, и

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{BC}{B_1C}.$$

$$AB=15\text{ см},\quad AA_1:AC=2:3.$$
Пусть $$AA_1=2x$$, тогда $$AC=3x$$, а значит $$A_1C=AC-AA_1=x.$$
Из подобия:
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{3x}{x}=3,$$
откуда
$$A_1B_1=\frac{AB}{3}=\frac{15}{3}=5\text{ см}.$$
$$AB=8\text{ см},\quad AA_1:A_1C=5:3.$$
Пусть $$AA_1=5x$$, тогда $$A_1C=3x$$, значит $$AC=8x.$$
Тогда
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{8x}{3x}=\frac{8}{3},$$
откуда
$$A_1B_1=8\cdot \frac{3}{8}=3\text{ см}.$$
$$B_1C=10\text{ см},\quad AB:BC=4:5.$$
Пусть $$AB=4x$$, тогда $$BC=5x.$$
Из подобия:
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C},$$
следовательно,
$$A_1B_1=\frac{AB\cdot B_1C}{BC}=\frac{4x\cdot 10}{5x}=8\text{ см}.$$
$$AA_1=a,\quad AB=b,\quad A_1C=c.$$
Тогда
$$AC=AA_1+A_1C=a+c.$$
По подобию треугольников
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C},$$
откуда
$$A_1B_1=\frac{AB\cdot A_1C}{AC}=\frac{bc}{a+c}.$$