Упр.13.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую (рис. 294).

Пусть прямая $$c$$ разбивает плоскость на две полуплоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$. Рассмотрим ломаную $$A_1A_2\dots A_n$$, у которой точка $$A_1$$ лежит в $$\alpha$$, а точка $$A_n$$ — в $$\beta$$.

Все вершины ломаной могут лежать либо в одной из полуплоскостей, либо на прямой $$c$$.

Если хотя бы одна вершина $$A_k$$ лежит на прямой $$c$$, то ломаная пересекает прямую $$c$$ в точке $$A_k$$.

Если же ни одна вершина не лежит на прямой $$c$$, то, двигаясь по ломаной от $$A_1$$ к $$A_n$$, найдём такую соседнюю пару вершин $$A_k$$ и $$A_{k+1}$$, что $$A_k \in \alpha$$, а $$A_{k+1} \in \beta$$.

Тогда отрезок $$A_kA_{k+1}$$ имеет концы в разных полуплоскостях, а значит, пересекает прямую $$c$$. Но этот отрезок является частью ломаной, следовательно, и вся ломаная пересекает прямую $$c$$.

Таким образом, если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то ломаная пересекает эту прямую.