Упр.11.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окружность.

Возьмём произвольную окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R$$. Тогда каждая точка этой окружности удалена от точки $$O$$ на расстояние $$R$$.

Пусть теперь эта окружность подверглась преобразованию подобия с коэффициентом $$k$$. Тогда центр $$O$$ перейдёт в некоторую точку $$O_1$$.

При преобразовании подобия все расстояния между соответствующими точками умножаются на $$k$$. Значит, образ любой точки исходной окружности будет удалён от точки $$O_1$$ на расстояние $$kR$$.

Следовательно, все точки полученной фигуры находятся на одинаковом расстоянии $$kR$$ от точки $$O_1$$, то есть эта фигура является окружностью с центром $$O_1$$ и радиусом $$kR$$.