Вопрос 7 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Докажем это.

Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \angle B=\angle B_1.$$

Построим треугольник $$A_2B_2C_2$$, подобный треугольнику $$A_1B_1C_1$$, с коэффициентом подобия

$$k=\frac{AB}{A_1B_1}.$$

Тогда

$$\angle A_2=\angle A_1=\angle A,\qquad \angle B_2=\angle B_1=\angle B,$$

а также

$$A_2B_2=k\cdot A_1B_1=\frac{AB}{A_1B_1}\cdot A_1B_1=AB.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_2B_2C_2$$ равны по второму признаку равенства треугольников: у них равны сторона $$AB=A_2B_2$$ и прилежащие к ней углы.

Но треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ подобны по построению, значит, и треугольник $$ABC$$ подобен треугольнику $$A_1B_1C_1$$.

Итак, если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то эти треугольники подобны. Что и требовалось доказать.