Упр.9.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Может ли у треугольника быть центр симметрии?

Предположим, что у треугольника $$ABC$$ есть центр симметрии в точке $$O$$. Тогда при центральной симметрии каждая вершина треугольника должна перейти либо в другую вершину, либо сама в себя.

Но вершина треугольника не может перейти сама в себя, так как тогда она должна совпасть с центром симметрии, а у треугольника все вершины различны и не лежат на одной прямой.

Значит, вершины $$A$$, $$B$$ и $$C$$ должны попарно переходить друг в друга. Однако при этом одна вершина обязательно должна перейти в одну из двух других, а третья — в оставшуюся, что невозможно для треугольника: если, например, $$A$$ переходит в $$B$$, то точка $$O$$ является серединой $$AB$$, и вершина $$C$$ не может перейти ни в какую вершину треугольника.

Следовательно, у треугольника центра симметрии быть не может.

Ответ: не может.