Упр.7.69 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

У треугольника одна из сторон равна $$1\ \text{м}$$, а прилежащие к ней углы равны $$30^\circ$$ и $$45^\circ$$. Найдите другие стороны этого треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=1\text{ м}$$, $$\angle A=30^\circ$$, $$\angle B=45^\circ$$. Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CH$$ на сторону $$AB$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHC$$. Тогда

$$\tan \angle B=\frac{CH}{BH}$$

Так как $$\tan 45^\circ=1$$, то $$CH=BH$$. Обозначим $$BH=x$$, тогда $$CH=x$$ и $$AH=1-x$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. Имеем

$$\tan \angle A=\frac{CH}{AH}=\frac{x}{1-x}$$

С другой стороны, $$\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$$, значит

$$\frac{x}{1-x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Отсюда

$$x\sqrt{3}=1-x$$

$$x(\sqrt{3}+1)=1$$

$$x=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Теперь найдём боковые стороны треугольника.

В треугольнике $$ACH$$:

$$AC=\frac{CH}{\sin \angle A}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sin 30^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac12}=\sqrt{3}-1$$

В треугольнике $$BCH$$:

$$BC=\frac{CH}{\sin \angle B}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sin 45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$$

Следовательно, боковые стороны треугольника равны $$\sqrt{3}-1\text{ м}$$ и $$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\text{ м}$$.

Ответ: $$\sqrt{3}-1\text{ м},\ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\text{ м}$$.