Упр.11.68 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Угол между касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен $$50^\circ$$. Найдите градусные меры дуг этой окружности, заключённых между точками касания.

Проведём радиусы $$OA$$ и $$OB$$ к точкам касания $$A$$ и $$B$$. Тогда $$OA \perp CA$$ и $$OB \perp CB$$, а отрезки касательных из одной точки равны, значит, $$CA=CB$$. Следовательно, треугольник $$ACB$$ равнобедренный, и

$$\angle CAB=\angle CBA=\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ.$$

Угол между касательной и хордой равен половине соответствующей дуги, поэтому меньшая дуга $$AB$$ равна

$$2\angle CAB=2\cdot 65^\circ=130^\circ.$$

Большая дуга равна

$$360^\circ-130^\circ=230^\circ.$$

Ответ: $$130^\circ$$ и $$230^\circ$$.