Упр.6.68 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: концы диаметра удалены от касательной к окружности на 1,6 м
и 0,6 м;
Найти: длину диаметра;
1) Пусть дана окружность с центром в точке O, прямая a, касающаяся
ее в точке H и диаметр AB;
2) По свойтву касательной к окружности и радиуса: OH перпендикулярен a;
3) Из точек A и B опустим перпендикуляры AD и BC на прямую a, тогда
AD=1,6 м и BC=0,6 м;
4) AD перпендикулярен a, BC перпендикулярен a и OH перпендикулярен a, следовательно AD||BC||OH;
5) AO=OB (как радиусы одной окружности), тогда по теореме Фалеса:
DH=HC;
6) В трапеции ABCD отрезок OH является средней линией, значит:
OH=1/2 (AD+BC);
7) Диаметр окружности равен двум ее радиусам, следовательно:
AB=2OH=AD+BC=1,6+0,6=2,2 м;
Ответ: 2,2 м.

Подробный ответ

Пусть окружность с центром в точке $$O$$ касается прямой $$a$$ в точке $$H$$, а $$AB$$ — её диаметр.

Из свойств касательной к окружности имеем:

$$OH \perp a.$$

Из точек $$A$$ и $$B$$ опустим перпендикуляры $$AD$$ и $$BC$$ на прямую $$a$$. Тогда

$$AD=1{,}6\text{ м}, \quad BC=0{,}6\text{ м}.$$

Так как $$AD \perp a$$, $$BC \perp a$$ и $$OH \perp a$$, то

$$AD \parallel BC \parallel OH.$$

Кроме того, $$AO=OB$$ как радиусы одной окружности. Следовательно, точка $$O$$ лежит посередине отрезка $$AB$$, а в трапеции $$ABCD$$ отрезок $$OH$$ является средней линией. Значит,

$$OH=\frac{AD+BC}{2}.$$

Тогда диаметр окружности равен

$$AB=2OH=AD+BC=1{,}6+0{,}6=2{,}2\text{ м}.$$