Упр.6.68 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Концы диаметра удалены от касательной к окружности на $$1{,}6\ \text{м}$$ и $$0{,}6\ \text{м}$$. Найдите длину диаметра.

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$a$$ — касательная, касающаяся окружности в точке $$H$$, а $$AB$$ — данный диаметр.

Из свойства касательной и радиуса имеем $$OH \perp a.$$

Опустим из точек $$A$$ и $$B$$ перпендикуляры $$AD$$ и $$BC$$ на прямую $$a$$. Тогда

$$AD=1{,}6\text{ м}, \qquad BC=0{,}6\text{ м}.$$

Так как $$AD \perp a,\quad BC \perp a,\quad OH \perp a,$$ то $$AD \parallel BC \parallel OH.$$

Кроме того, $$AO=OB$$ как радиусы одной окружности. Значит, точка $$O$$ лежит посередине отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, и отрезок $$OH$$ является средней линией трапеции $$ABCD$$.

Тогда

$$OH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{1{,}6+0{,}6}{2}=1{,}1\text{ м}.$$

Диаметр равен удвоенному радиусу:

$$AB=2OH=2\cdot 1{,}1=2{,}2\text{ м}.$$

Ответ: $$2{,}2$$ м.