Упр.11.68 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: угол между касательными, проведенными из одной точки к
окружности, равен 50°;
Найти: градусные меры дуг этой окружности, заключенных между
касательными;
Решение:
1) Пусть C-точка, из которой проведены касательные, а A и B-
точки касания с окружностью;
2) Отрезки касательных, проведенных из одной точки равны, значит:
CA=CB;
3) Треугольник ABC-равнобедренный с основанием AB, отсюда:
угол CAB = углу CBA=(180°- угол ACB)/2=90°-1/2•50°=65°;
4) Соответствующие центральные углы дуг, на которые разбивается
хордой окружность, являются дополнительными, значит, если один из
углов равен a, то другой равен: бетта=360°-a;
5) Согласно теореме 11.7 углы между хордой и касательной равны
половине соответствующих центральных углов, значит:
a = углу CAB•2=65° и бетта=360°-130°=230°

Подробный ответ

Пусть $$C$$ — точка, из которой проведены касательные, а $$A$$ и $$B$$ — точки касания с окружностью. Тогда $$CA=CB$$, значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

По условию $$\angle ACB=50^\circ$$. Тогда углы при основании равны:

$$ \angle CAB=\angle CBA=\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ. $$

Угол между касательной и хордой равен половине соответствующей дуги, поэтому меньшая дуга $$AB$$ равна

$$ 2\angle CAB=2\cdot 65^\circ=130^\circ. $$

Большая дуга равна

$$ 360^\circ-130^\circ=230^\circ. $$