Упр.7.67 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 67. Найдите радиус r окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, и радиус R окружности, описанной около него. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 pogorelov7-9 7-67 76

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный равносторонний треугольник, тогда $$AB=BC=CA=a$$.

Проведём высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$. В равностороннем треугольнике высоты одновременно являются медианами и биссектрисами, поэтому точка их пересечения $$O$$ является центром и вписанной, и описанной окружностей.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB_1C$$. Так как $$B_1$$ — середина стороны $$AC$$, то

$$B_1C=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$ BB_1=\sqrt{BC^2-B_1C^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}} =\frac{a\sqrt{3}}{2}. $$

Точка $$O$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому радиус описанной окружности равен

$$ R=OB=\frac{2}{3}\,BB_1=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}. $$

Радиус вписанной окружности равен

$$ r=OO_1=\frac{1}{3}\,BB_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2\sqrt{3}}. $$