Упр.11.67 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Хорда делит окружность на части, отношение которых равно $$3:7$$. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательной к окружности, проведённой в её конце.

Пусть меньшая дуга, на которую хорда делит окружность, равна $$3x$$, тогда большая дуга равна $$7x$$. Так как сумма дуг окружности равна $$360^\circ$$, получаем:

$$3x+7x=360^\circ$$

$$10x=360^\circ,\quad x=36^\circ$$

Тогда меньшая дуга равна

$$3x=3\cdot 36^\circ=108^\circ,$$

а большая дуга равна

$$7x=7\cdot 36^\circ=252^\circ.$$

Угол между хордой и касательной равен половине соответствующей дуги, поэтому:

$$\angle_1=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ,$$

$$\angle_2=\frac{252^\circ}{2}=126^\circ.$$

Ответ: $$54^\circ$$ и $$126^\circ$$.