Упр.15.66 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Поверхности двух шаров относятся как $$m:n$$. Как относятся их объёмы?

Пусть $$R_1$$ и $$R_2$$ — радиусы этих шаров. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $$S=4\pi R^2$$, поэтому

$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2}=\frac{m}{n}.$$

Отсюда

$$\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2=\frac{m}{n}, \qquad \frac{R_2}{R_1}=\sqrt{\frac{m}{n}}.$$

Объём шара вычисляется по формуле $$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$, значит

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\frac{4}{3}\pi R_2^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3=\left(\sqrt{\frac{m}{n}}\right)^3=\frac{\sqrt{m^3}}{\sqrt{n^3}}.$$

Ответ: $$\sqrt{m^3}:\sqrt{n^3}.$$