Упр.6.66 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: по разные стороны от прямой a даны две точки A и B на
расстоянии 10 см и 4 см от нее;
Найти: расстояние от середины отрезка AB до прямой a;
Решение:
1) Из точек A и B опустим на прямую a перпендикуляры AD и BC, тогда
AD=10 см и BC=4 см;
2) AD перпендикулярен a и BC перпендикулярен a, значит AD||BC, следовательно ABCD-трапеция;
3) Через точку O-середину отрезка AB проведем прямую, парал-
лельную основаниям трапеции, ометим точки E, H и E1 на пересечениях
этой прямой и отрезков AC, CD и BD соответственно;
4) AO=OB (по построению), тогда согласно теореме Фалеса:
AE=EC (для сторон угла CAB) и BE1=E1 D (для сторон угла ABD),
отсюда следует, что CH=HD (для сторон угла CDB);
5) В треугольнике ACD отрезок EH-средняя линия, значит:
EH=1/2 AD=1/2•10=5 см;
6) В треугольнике ACB отрезок EO-средняя линия, значит:
EO=1/2 BC=1/2•4=2 см;
7) AD перпендикулярен a и OH||AD, следовательно OH перпендикулярен a, отрезок OH-искомое
расстояне;
8) OH=EH-EO=5-2=3 см;
Ответ: 3 см.

Подробный ответ

Из точек $$A$$ и $$B$$ опустим на прямую $$a$$ перпендикуляры $$AD$$ и $$BC$$. Тогда $$AD=10$$ см, $$BC=4$$ см.

Так как $$AD \perp a$$ и $$BC \perp a$$, то $$AD \parallel BC$$. Следовательно, $$ABCD$$ — трапеция.

Пусть $$O$$ — середина отрезка $$AB$$. Через точку $$O$$ проведём прямую, параллельную основаниям трапеции, и обозначим точки пересечения этой прямой с отрезками $$AC$$, $$CD$$ и $$BD$$ через $$E$$, $$H$$ и $$E_1$$ соответственно.

Так как $$AO=OB$$, то по теореме Фалеса получаем:

$$AE=EC$$, $$BE_1=E_1D$$, а значит, $$CH=HD$$.

В треугольнике $$ACD$$ отрезок $$EH$$ — средняя линия, поэтому

$$EH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 10=5\text{ см}.$$

В треугольнике $$ACB$$ отрезок $$EO$$ — средняя линия, значит

$$EO=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 4=2\text{ см}.$$

Так как $$AD \perp a$$ и $$OH \parallel AD$$, то $$OH \perp a$$. Следовательно, $$OH$$ — искомое расстояние.

Тогда

$$OH=EH-EO=5-2=3\text{ см}.$$