Упр.15.65 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Круговой сектор с углом $$30^\circ$$ и радиусом $$R$$ вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объём полученного тела.

Пусть $$P$$ — вершина кругового сектора, а $$PA$$ и $$PB$$ — его боковые радиусы. Тогда

$$\angle APB=30^\circ,\qquad PA=PB=R.$$

При вращении сектора вокруг радиуса $$PB$$ получается шаровой сектор радиуса $$R$$. Его объём равен

$$V=\frac{2}{3}\pi R^2H,$$

где $$H$$ — высота шарового сектора.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр на ось вращения $$PB$$ и обозначим основание через $$O$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$POA$$

$$\cos \angle BPA=\frac{OP}{AP},$$

откуда

$$OP=AP\cos 30^\circ=R\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{R\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$H=PB-OP=R-\frac{R\sqrt3}{2}=\frac{2-\sqrt3}{2}R.$$

Тогда

$$V=\frac{2}{3}\pi R^2\cdot \frac{2-\sqrt3}{2}R =\frac{1}{3}\pi R^3(2-\sqrt3).$$

Ответ: $$\frac{1}{3}\pi R^3(2-\sqrt3)$$.