Упр.11.65 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Две хорды пересекаются внутри окружности под углом $$60^\circ$$. Найдите градусные меры двух дуг, заключённых между сторонами этого угла и их продолжениями, если они относятся как $$1:3$$.

Пусть $$O$$ — центр окружности, а хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$, причём $$\angle BMD=60^\circ$$.

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла, поэтому обозначим:

$$\overset{\frown}{AC}=\angle AOC,\qquad \overset{\frown}{BD}=\angle BOD.$$

По условию эти дуги относятся как $$1:3$$, значит

$$\angle BOD=3\angle AOC.$$

Так как угол, образованный пересекающимися хордами внутри окружности, равен половине суммы заключённых между его сторонами дуг, то

$$\angle BMD=\frac{1}{2}\left(\angle AOC+\angle BOD\right).$$

Подставим данные:

$$60^\circ=\frac{1}{2}\left(\angle AOC+3\angle AOC\right)=\frac{1}{2}\cdot 4\angle AOC.$$

Отсюда

$$2\angle AOC=60^\circ,\qquad \angle AOC=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle BOD=3\cdot 30^\circ=90^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$ и $$90^\circ$$.