Упр.11.65 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 65. Две хорды пересекаются внутри окружности под углом 60°. Найдите градусные меры двух дуг, заключённых между сторонами этого угла и их продолжениями, если они относятся как 1:3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 11-65 76

Подробный ответ

Пусть хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$, а $$\angle BMD=60^\circ$$. Обозначим градусные меры дуг $$AC$$ и $$BD$$ через $$x$$ и $$3x$$, так как по условию они относятся как $$1:3$$.

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла, значит

$$\overset{\frown}{AC}=\angle AOC=x,\qquad \overset{\frown}{BD}=\angle BOD=3x.$$

Для угла, образованного пересекающимися внутри окружности хордами, выполняется формула:

$$\angle BMD=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{AC}\right).$$

Тогда

$$60^\circ=\frac{1}{2}(3x+x)=\frac{1}{2}\cdot 4x=2x,$$

откуда

$$x=30^\circ.$$

Следовательно, вторая дуга равна

$$3x=90^\circ.$$