Упр.7.64 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите $$\cos\alpha$$, $$\tg\alpha$$ и $$\ctg\alpha$$, если:
1) $$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$;
2) $$\sin\alpha=\frac{40}{41}$$;
3) $$\sin\alpha=0{,}8$$.

Используем основные тригонометрические тождества:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$

откуда

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha};$$

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

1. Если $$\sin\alpha=\frac{3}{5},$$ то

   $$\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

   Тогда

   $$\tg\alpha=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}, \qquad \ctg\alpha=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}.$$

2. Если $$\sin\alpha=\frac{40}{41},$$ то

   $$\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{40}{41}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1600}{1681}}=\sqrt{\frac{81}{1681}}=\frac{9}{41}.$$

   Тогда

   $$\tg\alpha=\frac{40/41}{9/41}=\frac{40}{9}, \qquad \ctg\alpha=\frac{9/41}{40/41}=\frac{9}{40}.$$

3. Если $$\sin\alpha=0{,}8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},$$ то

   $$\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

   Тогда

   $$\tg\alpha=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}, \qquad \ctg\alpha=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}.$$

Ответ: 1) $$\cos\alpha=\frac{4}{5},\ \tg\alpha=\frac{3}{4},\ \ctg\alpha=\frac{4}{3};$$ 2) $$\cos\alpha=\frac{9}{41},\ \tg\alpha=\frac{40}{9},\ \ctg\alpha=\frac{9}{40};$$ 3) $$\cos\alpha=\frac{3}{5},\ \tg\alpha=\frac{4}{3},\ \ctg\alpha=\frac{3}{4}.$$